Свойства и признаки четырёхугольников
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
- Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180o, а противоположные углы равны.
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Признаки параллелограмма:
- Если в четырехугольнике сумма любых двух соседних углов равна 180o, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Определение
Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.
Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
Признаки прямоугольника:
- Если в параллелограмме есть прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Определение
Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.
Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.
Свойства ромба:
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба:
- Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
- Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Определение
Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.
Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.
Признаки квадрата:
- Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.
- Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Площадь параллелограмма
Формула для площади параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
S = a * h
Формула для площади параллелограмма через стороны и синус
Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.
Формула для площади параллелограмма через диагонали
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Площадь ромба
Теорема (площадь ромба через его диагонали)
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S = 1/2 d1 * d2
Трапеция
Определение
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а не параллельные — боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание трапеции.
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а не параллельные — боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание трапеции.
На рисунке изображена трапеция ABCD, у которой CD и AB — боковые стороны, AD и BC — основания, BH — высота.
Отметим, что в силу параллельности прямых, содержащих основания трапеции, её высота — это общий перпендикуляр этих прямых, а значит, высота не зависит от точки, откуда мы её опускаем.
Отметим, что в силу параллельности прямых, содержащих основания трапеции, её высота — это общий перпендикуляр этих прямых, а значит, высота не зависит от точки, откуда мы её опускаем.
Утверждение
Сумма углов при каждой из боковых сторон трапеции равна 180o.
Сумма углов при каждой из боковых сторон трапеции равна 180o.
Определение
Трапеция называется равнобедренной (равнобокой), если её боковые стороны равны.
Трапеция называется равнобедренной (равнобокой), если её боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Теорема 1
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда равны углы при любом из её оснований.
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда равны углы при любом из её оснований.
Теорема 2
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда проекции её боковых сторон на большее основание равны.
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда проекции её боковых сторон на большее основание равны.
Теорема 3
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда сумма противолежащих её углов равна 180o.
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда сумма противолежащих её углов равна 180o.
Следствие. Трапеция является вписанной тогда и только тогда, когда она равнобедренная.
Теорема 4
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда её диагонали равны.
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда её диагонали равны.
Определение
Трапеция называется прямоугольной, если у неё есть прямой угол.
Трапеция называется прямоугольной, если у неё есть прямой угол.
Площадь трапеции
Теорема (формула площади трапеции)
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту:
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту:
S = c * h
Следствие.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
S = (a + b)/2 * h
Четырёхугольники. Виды четырёхугольников
Четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются (не имеют общих внутренних точек).
Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а отрезки — сторонами четырёхугольника.
Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а отрезки — сторонами четырёхугольника.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.
Теорема 1 (характеристическое свойство выпуклого четырёхугольника)
Четырёхугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.
Четырёхугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.
Теорема 2
Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника лежит внутри него и делит его на два треугольника.
Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника лежит внутри него и делит его на два треугольника.
Теорема 3 (о сумме углов четырёхугольника)
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360o.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360o.
Теорема 3 (о сумме углов четырёхугольника)
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360o.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360o.
Параллелограммом называется выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Прямоугольником называется выпуклый четырёхугольник, в котором есть три прямых угла.
Ромбом называется выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны равны.
Квадратом называется прямоугольник, у которого две соседние стороны равны.
Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.
