Производная в экономических задачах (Задание №7, 11, 15)

Производная функции

Определение
Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всякого x такого, что
0 < |x - x₀| < δ, значение функции f(x) отличается от a меньше, чем на ε.
Обозначение: lim_x→_x0f(x) = a.

Определение
Если существует конечный предел

lim_x→_x0((f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)),

то он называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается f '(x₀).

Производные основных элементарных функций:

(xⁿ)' = nx^{n - 1} при n ∈ N, x ∈ R.
(x^a)' = ax^{a - 1} при a ∈ R, x > 0.
(sinx)' = cosx при x ∈ R.
(cosx)' = -sinx при x ∈ R.
(tgx)' = 1/cosx² при x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
(ctgx)' = -1/sinx² при x ≠ πn, n ∈ Z.
(arcsinx)' = 1/√(1 - x²) при |x| < 1 .
(arccosx)' = -1/√(1 - x²) при |x| < 1 .
(arctgx)' = 1/√(1 + x²) при x ∈ R .
(arcctgx)' = -1/√(1 + x²) при x ∈ R .
(e^x)' = e^x при x ∈ R.
(a^x)' = lna * a^x при x ∈ R.
(lnx)' = 1/x при x > 0.
(log_ax)' = 1 / xlna при x > 0.

Геометрический смысл производной

Теорема (геометрический смысл производной)
Значение производной функции в точке x₀ равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке x₀

Теорема (уравнение касательной)
Пусть в некоторой точке x₀существует производная. Тогда уравнение касательной к графику функции f(x) в этой точке можно записать так:

y = f(x₀) + (x - x₀)f '(x₀)

Исследование функции с помощью производной

Определение
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками этой функции.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, принято называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими.

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти производную f '(x).
2. Найти стационарные (f '(x) = 0) и критические (f '(x) не существует) точки функции f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся интервалах.
4. На основании теорем о необходимых и достаточных условиях экстремума сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.