Производная в задачах с параметрах (Задание № 9, 11, 15)

Задачи с параметром

Пример
При каких значениях параметра a неравенство -x² + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 имеет хотя бы одно решение?

Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x²:

-x² + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 ⇒ x² - (a + 2)x + 8a + 1 < 0

Вычислим дискриминант: D = a² + 28a. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси x. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство a² + 28a > 0. Квадратный трехчлен a² + 28a имеет два корня: 0, 28. Поэтому неравенству a² + 28a > 0 удовлетворяют промежутки a ∈
(-∞; 0) ⋃ (28; +∞).
Ответ: a ∈ (-∞; 0) ⋃ (28; +∞).

Пример
При каких значениях параметра ax² + 4ax + 5 ⩽ 0 неравенство не имеет решений?

Решение

Если a = 0, то данное неравенство вырождается в неравенство 5 ⩽ 0, которое не имеет решений. Поэтому значение a = 0 удовлетворяет условию задачи.
Если a > 0, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим D/4 = a(4a - 5). Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней (D < 0). Решим неравенство a(4a - 5) < 0. Корнями квадратного трёхчлена a(4a - 5) являются числа 0 и 5/4, поэтому D < 0 при 0< a < 5/4. Значит, из положительных значений a подходят числа a ∈ (0; 5/4).
Если a < 0, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения х, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения не подходят.

Ответ a ∈ [0; 5/4).

Исследование функции с помощью производной

Определение
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками этой функции.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, принято называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими.

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти производную f '(x).
2. Найти стационарные (f '(x) = 0) и критические (f '(x) не существует) точки функции f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся интервалах.
4. На основании теорем о необходимых и достаточных условиях экстремума сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.