Показательные и логарифмические уравнения (Задание №12, 14)

Свойства степени с действительным показателем

Пусть a, b, p, p₁, p₂ - действительные числа, причём a > 0 и , b > 0, тогда справедливы следующие равенства:
1. a^p1 * a^p2 = a^{p1 + p2}
2. a^p1 / a^p2 = a^{p1 - p2}
3. (a^p1)^p2 = a^{p1 * p2}
4. (ab)^p = a^p * b^p
5. (a/b)^p = a^p / b^p
6. Если a > 0, то a^p > 0 при p>0

Показательные уравнения

Определение:
Уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, называется показательным.

Утверждение
Степени с одинаковым основанием a > 0, a ≠ 1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели:

a^f(x) = a^g(^x) ↔ f(x) = g(x)

Утверждение
Чтобы решить уравнение вида

a^f(x) = b(a > 0, a ≠ 1, b > 0),

следует представить b в виде степени с основанием a и приравнять показатели.
По основному логарифмическому тождеству

a^f(x) = b ↔ f(x) = log_ab

Замечание: при b ⩽ 0 уравнение a^f(x) = b не имеет решений.

Определение
Уравнение вида a^x = b^x, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется однородным показательным уравнением первой степени.

Уравнение a^f(x) = b^g(x⁾ при a > 0, a ≠ 1, b > 0 равносильно следующему:

f(x) = g(x) * log_ab

Логарифм

Определение
Логарифм числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1, b > 0 ) — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получилось число b. Обозначается log_ab.

Основное логарифмическое тождество
Из определения логарифма следует следующее тождество:

a^log_a^b = b

Свойства логарифмов
Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, r, r₁, r₂ ∈ R то

log_a1 = 0
log_aa = 1
log_abc = log_ab + log_ac
log_a(b/c) = log_ab - log_ac
log_ab^r = r log_ab
log_a^r(b) = 1/r * log_ab
log_a^r1(b^r2) = r₂/r₁ * log_ab
log_a^r1(a^r2) = r₂/r₁

Формула перехода к новому основанию
Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, r ∈ R то log_ac = log_bc / log_ba. В частности,
log_ab = 1 / log_ba.

Определение
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм обозначается lgx.

Определение
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, приблизительно равная 2,72. Натуральный логарифм обозначается lnx.

Логарифмические уравнения

Определение
Уравнения, в которых переменная содержится в основании логарифма или под логарифмом, называются логарифмическими.

Утверждение

log_af(x) = b ↔ f(x) = a^b