Вписанный и центральный углы
Определение
Центральным называется угол с вершиной в центре окружности.
На рисунке центральным углом является угол AOC.
Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального угла.
На рисунке градусная мера дуги AC равна градусной мере угла AOC.
Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
На рисунке вписанным углом является угол ABC.Центральным называется угол с вершиной в центре окружности.
На рисунке центральным углом является угол AOC.
Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального угла.
На рисунке градусная мера дуги AC равна градусной мере угла AOC.
Лемма 1
Пусть BAC — вписанный угол окружности с центром в точке O, причем O лежит на отрезке AB. Тогда BOC = 2 BAC.
Пусть BAC — вписанный угол окружности с центром в точке O, причем O лежит на отрезке AB. Тогда BOC = 2 BAC.
Теорема
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла. Или, что то же самое, вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла. Или, что то же самое, вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми.
3. Сумма вписанных углов, опирающихся на дуги, дополняющие друг друга до окружности, равна 180o.
4. Если вписанный и центральный угол опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, то вписанный дополняет половину центрального до 180o.
5. Пусть ABC — угол, вписанный в окружность с центром O. Этот угол острый тогда и только тогда, когда точки B и O лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, и тупой тогда и только тогда, когда они лежат в разных полуплоскостях.
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми.
3. Сумма вписанных углов, опирающихся на дуги, дополняющие друг друга до окружности, равна 180o.
4. Если вписанный и центральный угол опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, то вписанный дополняет половину центрального до 180o.
5. Пусть ABC — угол, вписанный в окружность с центром O. Этот угол острый тогда и только тогда, когда точки B и O лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, и тупой тогда и только тогда, когда они лежат в разных полуплоскостях.
Лемма 2
Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями (или, как еще говорят, полусуммой дуг, высекаемых этих углом на окружности).
Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями (или, как еще говорят, полусуммой дуг, высекаемых этих углом на окружности).
Лемма 3
Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, высекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.
Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, высекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.
Лемма 4
Угол с вершиной P на окружности между ее хордой PA и касательной PB измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.
Угол с вершиной P на окружности между ее хордой PA и касательной PB измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.
Лемма 5
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.
Лемма 5
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.
Описанная окружность треугольника
Теорема
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вписанная окружность треугольника
Определение
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Теорема
В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.
В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.
Cледствие
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Утверждение
Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда: а)BA1 = BC1 = p - AC ; б)AC1 = AB1 = p - BC ; в)CB1 = CA1 = p - AB , где p — полупериметр треугольника ABC.
Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда: а)BA1 = BC1 = p - AC ; б)AC1 = AB1 = p - BC ; в)CB1 = CA1 = p - AB , где p — полупериметр треугольника ABC.
Вписанный и центральный углы
Теорема
В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Определение
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Теорема
Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Теорема
Пусть вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжений сторон BA и BC в точках K и L соответственно и стороны AC в точке N, а вписанная окружность касается сторон BA, AC и BC в точках Q, R и P соответственно. Тогда: 1)AN = CP ; 2)QK = RL = AC .
Пусть вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжений сторон BA и BC в точках K и L соответственно и стороны AC в точке N, а вписанная окружность касается сторон BA, AC и BC в точках Q, R и P соответственно. Тогда: 1)AN = CP ; 2)QK = RL = AC .
Вписанный четырехугольник
Определение
Если все вершины четырехугольника принадлежат окружности, то он называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около него.
Если все вершины четырехугольника принадлежат окружности, то он называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около него.
Утверждение 1
ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, является окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, исключая точки A и B.
ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, является окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, исключая точки A и B.
Утверждение 2
ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под данным углом a, является объединение двух симметричных дуг, стягиваемых хордой AB, за исключением точек A и B.
ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под данным углом a, является объединение двух симметричных дуг, стягиваемых хордой AB, за исключением точек A и B.
Теорема 1
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180o.
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180o.
Теорема 2
Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда ABD = ACD.
Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда ABD = ACD.
Утверждение
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.
Описанный четырехугольник
Определение
Если окружность касается каждой стороны четырехугольника, то он называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в него.
Если окружность касается каждой стороны четырехугольника, то он называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в него.
Теорема
Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.
Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.
Теорема
Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.
Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.
