Теория вероятностей (Задание №3, 4)

Теория вероятностей

Определение
Подмножество пространства элементарных событий называют случайным событием. Это событие в результате испытания может произойти или не произойти (выпадение трех очков при бросании кубика, выпадение четного количества очков при бросании кубика, выпадения решки при бросании монетки и т. д.). Случайное событие называют достоверным, если оно заведомо произойдет (например, выпадение от одного до шести очков при бросании кости), и невозможным, если оно заведомо не может произойти (например, выпадение семи очков при бросании кости). При этом достоверное событие содержит все элементы пространства элементарных событий, а невозможное событие не содержит ни одного элемента этого пространства.

Определение
Два случайных события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания.

Классическое определение вероятности. Пусть производится некоторое испытание, которое может иметь ровно n различных исходов. Будем считать, что все эти исходы несовместны (не могут произойти одновременно) и равновероятны (данное понятие лежит за рамками математической теории и понимается в интуитивном смысле). Каждому событию A, являющемуся подмножеством пространства элементарных событий проводимого испытания, поставим в соответствие число

p(A) = m/n

где m — число исходов испытания, благоприятствующих событию A. Число p(A) называют вероятностью события A при данном испытании.

Анализ и решение задач. Анализ и решение задач могут быть выполнены по следующей схеме:

Уясните, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.
Установите, являются ли исходы испытания несовместными и равновероятными.
Подсчитайте число n всех возможных исходов испытания.
Сформулируйте событие, вероятность наступления которого необходимо найти.
Подсчитайте число m исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию.
Вычислите по предложенной формуле вероятность появления рассматриваемого события.

Определение
Элементарные события опыта — простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт.

Определение
Вероятность события A (обозначается p(A)) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

Определение
Объединение событий A ⋃ B — событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий A или B.

Определение
Пересечение событий A ⋂ B— событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям A и B.

Определение
Событие ¬A, состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в A, называется противоположным событию .

Определение
События A и B называются независимыми, если p(A ⋂ B) = p(A) * p(B).

Определение
Несовместными называются события, которые не наступают одновременно ни в одном опыте.

Определение
Условная вероятность P(B|A) — это вероятность наступления события B при условии, что событие A наступило.

Вероятность случайного события

Вероятности случайных событий представляют собой величины, которые можно сравнивать. Величины выражаются дробями. Дробь показывает шанс наступления благоприятного случайного события, то есть события, которое нас интересует.

Про события с одинаковой вероятностью говорят, что они равновероятны или равновозможны.

Событие с вероятностью 1 называется достоверным событием.

Событие с вероятностью 0 называется невозможным событием.

Вероятность случайного события может быть выражена любым числом от 0 до 1 включительно.

Вероятность случайного события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов : m / n