Прямоугольный треугольник
Определение
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие — катетами.
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие — катетами.
Теорема
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Теорема
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник -— прямоугольный.
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник -— прямоугольный.
Теорема
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30o, равен половине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30o, равен половине гипотенузы.
Теорема
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то он лежит против угла в 30o.
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то он лежит против угла в 30o.
Теорема
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то он лежит против угла в 30o.
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то он лежит против угла в 30o.
Теорема
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Теорема Пифагора, египетский треугольник. Теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема Пифагора
Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.
Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.
c2 + b2 = a2
Теорема, обратная теореме Пифагора
Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Тригонометрия прямоугольного треугольника
Определение
Косинусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.
Косинусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.
cosB = AB / CB, cosC = AC / CB
Определение
Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.
Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.
sinB = AC / CB, sinC = AB / CB
Определение
Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.
Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.
tgB = AC / AB, tgC = AB / AC
Определение
Котангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.
Котангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.
ctgB = AB / AC, ctgC = AC / AB
Теорема (о корректности определений)
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от градусной меры угла и не зависят от расположения и размеров прямоугольного треугольника.
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от градусной меры угла и не зависят от расположения и размеров прямоугольного треугольника.
Точка пересечения медиан
Теорема
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
Теорема о биссектрисе треугольника
Теорема
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
a : b = x : y
Подобные треугольники
Фигуры F1 и F2 называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в фигуру F2. Обозначение: F1 ~ F2. В частности, два треугольника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один из них в другой.
Таким образом, если две фигуры являются подобными, то все отрезки одной из них получаются умножением соответствующих отрезков другой на одно и то же число. Это число называется коэффициентом подобия фигур.
Отметим важное свойство, которое напрямую следует из определения и свойств преобразования подобия: "Если два треугольника подобны, то их углы соответственно равны и соответствующие стороны пропорциональны".
Отметим важное свойство, которое напрямую следует из определения и свойств преобразования подобия: "Если два треугольника подобны, то их углы соответственно равны и соответствующие стороны пропорциональны".
AB / MN = BC / NK = AC / MK
Теорема синусов
Теорема синусов
Пусть a, b, c — стороны треугольника; α, ß, φ — противолежащие им углы; R — радиус описанной окружности. Тогда
Пусть a, b, c — стороны треугольника; α, ß, φ — противолежащие им углы; R — радиус описанной окружности. Тогда
a / sin α = b / sin ß = c / sin φ
Теорема косинусов
Теорема косинусов
Пусть a, b, c - стороны треугольника;α - угол, противолежащий стороне . Тогда
Пусть a, b, c - стороны треугольника;α - угол, противолежащий стороне . Тогда
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cosα
Следствие 1
Пусть a, b, c - стороны треугольника; α - угол, противолежащий стороне . Тогда
Пусть a, b, c - стороны треугольника; α - угол, противолежащий стороне . Тогда
cosα = (-a2 + b2 + c2) / 2bc
Следствие 2
Пусть a, b, c - стороны треугольника; α - угол, противолежащий стороне . Тогда
a)a2 = b2 + c2 тогда и только тогда, когда α = 90o
b)a2 > b2 + c2 тогда и только тогда, когда α > 90o
c)a2 < b2 + c2 тогда и только тогда, когда α < 90o
Пусть a, b, c - стороны треугольника; α - угол, противолежащий стороне . Тогда
a)a2 = b2 + c2 тогда и только тогда, когда α = 90o
b)a2 > b2 + c2 тогда и только тогда, когда α > 90o
c)a2 < b2 + c2 тогда и только тогда, когда α < 90o
Следствие 3
Пусть a, b, c - стороны треугольника; a - наибольшая сторона. Тогда
a)a2 = b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.
b)a2 < b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.
c)a2 > b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.
Пусть a, b, c - стороны треугольника; a - наибольшая сторона. Тогда
a)a2 = b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.
b)a2 < b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.
c)a2 > b2 + c2 тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.
Треугольник
Определение
Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Углы между лучами, содержащими две стороны и выходящими из одной вершины треугольника, называются углами треугольника
Замечательные точки треугольника
Теорема
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Важно запомнить, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (а не точка пересечения его высот). Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех трех вершин треугольника, поэтому она и является центром описанной около треугольника окружности.
Теорема
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.
Теорема
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Вспомним, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности, т.к. именно она является равноудаленной от всех сторон треугольника.
Площадь треугольника
Пусть a, b, c — стороны треугольника; α, ß, φ — противолежащие им углы; ha— высота, проведенная к прямой, содержащей сторону a; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; p — полупериметр треугольника.
Тогда справедливы следующие формулы площади треугольника:
- S = 1/2 aha
- S = pr
- S = 1/2 bc sinα
- S = abc / 4R
- S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))
Теорема Менелая
Теорема
Пусть на прямых BC, CA и AB, содержащих стороны треугольника ABC отмечены соответственно точки A1, B1 и C1. Точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
AB1 / B1C = CA1 / A1B = BC1 / C1A
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой данной прямой.
На рисунке изображен угол O, образованный пересечением прямых a и b и параллельные прямые c || d || e .
Если A1A2 = A2A3 , то B1B2 = B2B3
Если параллельные прямые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой данной прямой.
На рисунке изображен угол O, образованный пересечением прямых a и b и параллельные прямые c || d || e .
Если A1A2 = A2A3 , то B1B2 = B2B3
