Преобразование суммы и разности синусов и косинусов в произведение
1) Формула преобразования суммы синусов в произведение:
sinα + sinβ = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)
2) Формула преобразования разности синусов в произведение:
sinα − sinβ = 2 sin((α−β)/2) cos((α+β)/2)
3) Формула преобразования суммы косинусов в произведение
cosα + cosβ = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)
4) Формула преобразования разности косинусов в произведение
cosα − cosβ = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2)
Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму
1) cosα cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β))/2
2) sinα sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β))/2
3) sinα cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β))/2
Формулы приведения
Формулы приведения разработаны для углов вида π/2 ± α; π ± α; 3π/2 ± α;
2π ± α, если угол α измерен в радианах, или для углов вида 90o ± α; 180o ± α;
270o ± α; 360o ± α, если угол α измерен в градусах. Эти формулы позволяют выразить синус, косинус, тангенс и котангенс указанных углов через синус, косинус, тангенс или котангенс угла α.
Всего формул приведения тридцать две. Любая из них получается с помощью формул сложения. Например,
cos(3π/2 - α) = cos(3π/2)cosα + sin(3π/2)sinα = 0 * cosα - 1 = -sinα
или
cos(π + α) = cosπ cosα - sinπ sinα = -1 * cosα - 0 * sinα = -cosα.
Запоминать или каждый раз выводить все тридцать две формулы приведения не нужно, так как существует простое правило, позволяющее получить любую формулу приведения.
2π ± α, если угол α измерен в радианах, или для углов вида 90o ± α; 180o ± α;
270o ± α; 360o ± α, если угол α измерен в градусах. Эти формулы позволяют выразить синус, косинус, тангенс и котангенс указанных углов через синус, косинус, тангенс или котангенс угла α.
Всего формул приведения тридцать две. Любая из них получается с помощью формул сложения. Например,
cos(3π/2 - α) = cos(3π/2)cosα + sin(3π/2)sinα = 0 * cosα - 1 = -sinα
или
cos(π + α) = cosπ cosα - sinπ sinα = -1 * cosα - 0 * sinα = -cosα.
Запоминать или каждый раз выводить все тридцать две формулы приведения не нужно, так как существует простое правило, позволяющее получить любую формулу приведения.
Правило:
1) перед приведённым тригонометрическим выражением в правой части равенства ставится знак, который имеет выражение в левой части в предположении, что α является углом первой четверти;
2) если угол α откладывается от вертикального диаметра единичной окружности (углы вида π/2 ± α; 3π/2 ± α), то название выражения меняется, то есть синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс, котангенс — на тангенс; если же угол α откладывается от горизонтального диаметра единичной окружности (углы вида π ± α; 2π ± α), то название выражения не меняется.
1) перед приведённым тригонометрическим выражением в правой части равенства ставится знак, который имеет выражение в левой части в предположении, что α является углом первой четверти;
2) если угол α откладывается от вертикального диаметра единичной окружности (углы вида π/2 ± α; 3π/2 ± α), то название выражения меняется, то есть синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс, котангенс — на тангенс; если же угол α откладывается от горизонтального диаметра единичной окружности (углы вида π ± α; 2π ± α), то название выражения не меняется.
Формула вспомогательного аргумента
Представление через синус
При a ≠ 0 и b ≠ 0
a sinx + b cosx = √(a2 + b2) sin(x + φ),
где sinφ = b / √(a2 + b2), cosφ = a / √(a2 + b2).Представление через косинус
При a ≠ 0 и b ≠ 0
a sinx + b cosx = √(a2 + b2) cos(x - φ),
где cosφ = b / √(a2 + b2), sinφ = a / √(a2 + b2).Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение sinx = a:
- если a ∈ (-1; 1) , то множеством решений уравнения является
x = (-1)n arcsin(a) + πn, n ∈ Z
- если a = 1, то корнями уравнения будут
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z
- а если a = -1, то корни
x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
- если же |a| > 1, то уравнение sinx = a решений не имеет.
Уравнение cosx = a:
- если a ∈ (-1; 1) , то множеством решений уравнения является
x = ±arcsin(a) + 2πn, n ∈ Z
- если a = 1, то корнями уравнения будут
x = 2πn, n ∈ Z
- а если a = -1, то корни
x = π + 2πn, n ∈ Z
- если же |a| > 1, то уравнение cosx = a решений не имеет.
Уравнение tgx = a:
При любом действительном a множеством решений уравнения tgx = a является
При любом действительном a множеством решений уравнения tgx = a является
x = arctg(a) + πn, n ∈ Z
Уравнение ctgx = a:
При любом действительном a множеством решений уравнения ctgx = a является
При любом действительном a множеством решений уравнения ctgx = a является
x = arcctg(a) + πn, n ∈ Z
