Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Лемма о двух параллельных прямых
Если одна из двух параллельных прямых пересекает некоторую плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о параллельных прямых
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит параллельная ей прямая и притом только одна.Признак параллельности прямых
Если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то они параллельны друг другу.(транзитивность параллельности: a || c, c || b ⇒ a || b).
Теорема о трёх перпендикулярах
Определение
Параллельное проектирование, при котором направление проектирования перпендикулярно плоскости проектирования, называют ортогональным проектированием. Проекция при ортогональном проектировании называется ортогональной проекцией.
Параллельное проектирование, при котором направление проектирования перпендикулярно плоскости проектирования, называют ортогональным проектированием. Проекция при ортогональном проектировании называется ортогональной проекцией.
Теорема (о трёх перпендикулярах)
Если проекция наклонной на данную плоскость перпендикулярна прямой этой плоскости, то и наклонная перпендикулярна этой прямой.
Если проекция наклонной на данную плоскость перпендикулярна прямой этой плоскости, то и наклонная перпендикулярна этой прямой.
Теорема (обратная теореме о трёх перпендикулярах)
Если наклонная к данной плоскости перпендикулярна прямой этой плоскости, то и её проекция на эту плоскость перпендикулярна этой прямой.
Если наклонная к данной плоскости перпендикулярна прямой этой плоскости, то и её проекция на эту плоскость перпендикулярна этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Теорема
Перпендикулярная к плоскости прямая пересекает эту плоскость.
Перпендикулярная к плоскости прямая пересекает эту плоскость.
Теорема
Если одна из двух параллельных друг другу прямых перпендикулярна некоторой плоскости, то и вторая прямая будет перпендикулярна этой плоскости.
Если одна из двух параллельных друг другу прямых перпендикулярна некоторой плоскости, то и вторая прямая будет перпендикулярна этой плоскости.
a || b, a ⟂ α → b ⟂ α
Теорема
Перпендикулярные одной и той же плоскости две прямые параллельны друг другу.
Перпендикулярные одной и той же плоскости две прямые параллельны друг другу.
b⟂ α, a ⟂ α → a || b
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости)
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.
Теорема
Через данную точку проходит перпендикулярная к данной плоскости прямая и притом только одна.
Через данную точку проходит перпендикулярная к данной плоскости прямая и притом только одна.
Теорема
Через данную точку проходит перпендикулярная к данной плоскости прямая и притом только одна.
Через данную точку проходит перпендикулярная к данной плоскости прямая и притом только одна.
Призма
Определение
Призма — это многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Таким образом, две грани призмы являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.
Призма — это многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Таким образом, две грани призмы являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов. Вместе с основаниями боковая поверхность составляет полную поверхность призмы.
Высотой призмы называется расстояние между её основаниями. Обычно высоту призмы обозначают латинской буквой h.Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две её вершины, не принадлежащие одной грани.
Виды призмы
Определение
Если основаниями призмы являются n-угольники, то призму называют
n-угольной.
Если основаниями призмы являются n-угольники, то призму называют
n-угольной.
Определение
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основаниям, то призму называют прямой. В противном случае — наклонной.
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основаниям, то призму называют прямой. В противном случае — наклонной.
Определение
Прямая призма называется правильной, если её основания ー правильные многоугольники.
Площадь поверхности призмы
Определение
Площадью боковой поверхности призмы (Sбок) называется сумма площадей её боковых граней.
Площадью боковой поверхности призмы (Sбок) называется сумма площадей её боковых граней.
Определение
Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей её оснований (S0) и боковой поверхности (Sбок):
Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей её оснований (S0) и боковой поверхности (Sбок):
Sполн = Sбок + 2S0
Теорема
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания призмы (P0) на её высоту h(т.е. на длину бокового ребра):
Sбок = P0 * h
Объём призмы
Теорема об объёме призмы
Объём призмы равен произведению площади основания призмы на её высоту:
Объём призмы равен произведению площади основания призмы на её высоту:
V = Sоcн * h
